Se você acha que a matemática é a maior vilão para o se não, até então, não sucesso no vestibular do Enem ou em concursos públicos de qualquer área, então, vai precisar ler este artigo até o final e mudar todo o conceito! Vamos começar falando sobre a matemática básica.
Oras, ninguém tem que começar pelo mais difícil, não é? E, são raras as exceções onde as matemáticas mais complexa caem nessas provas, apenas em casos específicos mesmo.
E, afinal de contas, todo mundo tem que saber um pouco de matemática para a vida. A maior parte dos conceitos é simples de entender e quem entende isso, logo consegue migrar para os outros conceitos, aqueles mais avançados.
Qual a diferença entre o simples e o composto, oras, um é básico e torna-se quase uma obrigação de ser entendimento. Já o outro é destinado aos especialistas, àquelas pessoas que querem ir além. De qualquer maneira, ambos têm que passar pelo básico. E é sobre isso que vamos alar agora.
- Juros Simples… Como Calcular?
- Sistemas Lineares, o que é isso?
- Conjuntos?
- E os critérios de divisibilidade?
- Equações do 1º e do 2º grau, como resolver?
- MMC ou MDC?
- Razão ou Proporção?
- Regra de 3 é mesmo fácil?
Veja todas as respostas abaixo!
Compreendendo a Matemática Básica
A maior dificuldade, na real, está em encontrar conteúdos de qualidade para o estudo. A matemática como qualquer outra matéria, pode ser fácil ou difícil e tudo vai depender do fato de você entender ou não o conteúdo.
Sabe aquela sensação de quando você sabe exatamente o que está fazendo? Então, é esse sentimento que move a matemática. A pessoa que mais conhece, é aquela, sem dúvidas, que mais entende. Para isso, conteúdos de qualidade e didáticos. Nós os buscamos para vocês, para facilitar a sua vida, então, entenda tudo sobre matemática, agora!
1 – Conjuntos
“Conjuntos” na tradução básica é “Coleção de Elementos”. Assim, por definição, eles recebem letras do alfabeto em maiúsculo: A, B, C… Z. Confira alguns exemplos práticos:
- O Conjunto de Todos os Alunos de uma Turma pode ser representado por A,
- O Conjunto Musical, por M,
- O Conjunto dos números inteiros, Z,
- O Conjunto dos Números Naturais é conhecido por N.
Portanto, o “Elemento” de um conjunto é qualquer coisa que pertence ao conjunto. É simples, curte só:
- 5 Pode ser um Elemento do Conjunto dos Números Inteiros (Z),
- 11 Pode ser um Elemento do Conjunto dos Números Primos (P),
- João Pode ser um Elemento do Conjunto dos Alunos da Turma (A),
- 0,6 Pode Ser um Elemento do Conjunto dos Números Reais (R).
E, pode ser também que um elemento seja representado por uma letra minúscula do alfabeto, tal qual a, b, c… z.
Por fim, chegamos à “Pertinência” que é uma características associada à um elemento ao qual faz parte de um conjunto, cujo símbolo é o ∈.
- 1 Pertence ao Conjunto dos Números Naturais (N): 1 ∈ N,
- João Pertence ao Conjunto dos Alunos da Turma: João ∈ A;
- 0,5 Pertence ao Conjunto dos Números Reais: 0,5 ∈ R,
- 13 Pertence ao Conjunto dos Números Primos: 13 ∈ P.
Aí, tem também a Representação dos Conjuntos, que é muito simples. Vamos aos exemplos que você vai entender logo.
A = {João, Paulo, Ana, Carla}
N = {1, 2, 3, 4}
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
V = {a, e, i, o, u}
Diagrama de Venn-Euler: nada mais é do que uma representação gráfica de Conjuntos. Então, quando você encontrar alguma caixa ou algum desenho que tenha números dentro, saiba que esse é um diagrama de Venn-Euler.
Subconjuntos: Quando temos um Conjunto A, podemos dizer que B é um Subconjunto de A. Logo, se B estiver contido dentro de A, então, falamos em: B ⊂ A. É o mesmo que dizer que todos os elementos de B estão dentro de A.
Acabou a apresentação dos Conjuntos! Fácil, fácil, não é? Está vendo, quando conseguimos compreender, a matemática se torna bem mais fácil de ser aprendida.
Se você está entendendo, continue lendo este artigo, temos outros termos e definições!
2 – Juros Simples
É muito usado no dia a dia quando emprestamos dinheiro a outra pessoa. Assim, temos que receber a quantia emprestada e mais um valor pelo empréstimo, que é uma vantagem que tiramos. Então, essa remuneração extra é denominada de juros.
Assim, a fórmula dos juros simples é muito simples:
- Capital é a quantidade emprestada,
- Juros é o acréscimo que recebemos pelo valor emprestado,
- Tempo é o tempo em que o empréstimo vai durar,
- Taxa é o valor aplicado, em porcentagem, que vai determinar os juros.
Resumo:
J= (C.i.t) / 100
Atenção: as taxas sempre tem que ser calculadas conforme o tempo. Assim, se a taxa for anual, o tempo tem que ser reduzido à ano mas se for mensal, então, o tempo ter que ser reduzido ao mês, consequentemente.
Tem pessoas que falam em montante! Mas isso também é compreensível. Montante, afinal, é o valor que será resgatado no final, ou seja, é o valor que emprestamos com os juros acrescidos. (M = C + J).
3 – Juros Compostos
É o que os economistas gostam de chamar de juros sobre juros. Assim, sendo, o que diferencia os juros compostos dos juros simples é que nesse caso ele é cobrado ao montante de cada período e não no valor geral, como acontece no simples.
É esse tipo de juros que é usado nos sistemas financeiros do país e do mundo, já que oferece uma rentabilidade maior. No entanto, o mesmo vale para quando você faz um empréstimo, então, concluímos que você acaba por pagar bem mais por isso.
Ou seja, a fórmula é praticamente a mesma, só que funciona mês a mês, da seguinte forma:
- Primeiro Mês: M = C x (1+i)
- Segundo Mês: M = C x (1+i) x (1+i)
- Terceiro Mês: M = C x (1+i) x (1+i) x (1+i)
E assim por diante!
Então, de modo geral, a fórmula usada é: M = C x (1+i) elevado ao T. Onde:
- M é o montante final,
- i é a taxa de juros aplicada,
- C é o capital ou valor inicial e
- T é o tempo total.
Até aqui tranquilo também, não é?
4 – Regra de 3
Regra de 3 é o nome do processo destinado à resolver problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcional. Então, temos 2 subdivisões: A Regra de 3 Simples e a Regra de 3 Composta.
Regra de 3 Simples
Permite encontrar um quarto valor que até então não é conhecido, a partir de outros 3.
Passo a Passo:
- Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesma espécie na mesma coluna,
- Identifique as grandezas,
- Monte a equação, sendo que quando as grandezas forem proporcionais, então, multiplica-se o valor em cruz, em forma de X. Se forem inversamente proporcionais, inverte-se o valor.
- Resolva a equação.
Na prática, imagine que para se construir um muro de 17 m² sejam necessários 3 trabalhadores. Então, a pergunta é: quantos trabalhadores são necessários para construir um muro de 51 m²?
Para responder, basta montar a tabela da seguinte forma:
Área Trabalhadores
17 m² 3
51 m² X
Logo, basta multiplicarmos os valores em cruz e teremos a equação montada.
17 x = 153, portanto, x = 153/17, e, por fim, x = 9.
9 é a resposta correta!
Regra de 3 Composta
Funciona da mesma forma, porém, são problemas que envolvem mais de 3 grandezas conhecidas! Veja um exemplo!
Em uma gráfica existem 3 impressoras que funcionam sem parar, sendo 10 horas por dia, durante 4 dias e imprimem 240 mil folhas. Porém, uma delas quebra-se. No entanto, há uma demanda de impressão de 480 mil folhas em 6 dias. Então, quantas horas devem funcionar sem parar as 2 máquinas restantes?
A equação fica montada assim:
Impressoras Horas Dias Folhas
3 10 4 240.000
2 x 6 480.000
A forma mais fácil de fazer essa conta é isolar a grande desconhecida. E invertemos os valores inversos, a ponto de que fique assim:
10 2 6 240.000
X 3 4 480.000
Então, cruzamos as 2 primeiras colunas e mantemos as outras seguintes.
57.6000.000 = 2.880.000 x, logo x = 20!
Entenda que quando for composta, vai ser preciso deixar todas as colunas alinhas em uma ordem (crescente ou decrescente), de acordo com a incógnita do texto.
5 – Equação do 1º Grau
Também é um tema assustador, mas simples. A equação do primeiro grau nada mais é do que uma igualdade entre expressões, que vão chegar à uma unidade numérica.
Logicamente, se temos 5 + x = 8, então, sabemos que x = 3.
Porém, há algumas dificuldades acrescentadas. Confira cada uma das equações.
- Equação equivalente: são 2 ou mais equações que se equivalem e admitem as mesmas soluções ou os mesmos conjuntos.
Então, temos:
3x – 9 = 0, então, 3 é a solução,
4 + x = 7, então, 3 é a solução.
- Equação Numérica: É quando não há nenhuma letra diferente a não ser as incógnitas.
Então:
X – 5 = -2x + 22
- Equação Literal: É quando uma equação contém outra letra, além das variáveis.
Assim:
3ax – 5 = ax + 4
- Equação Possível e Determinada: É quando as equações admitem um número finito de soluções.
Ficando assim:
X – 2(x +1) = -3
S = V = {1}
- Equação Possível e Indeterminada: Admitem infinitas soluções, ou seja, um número infinito de soluções.
V = S = R, onde:
5x – 2y = 105
- Equação Impossível: É quando equações não admitem soluções.
V = S = {} = vazio
Resumindo…
Bem, está certo que esse finalzinho foi mais puxado, não é? É um pouco mais complexo, porém, dá para notar que nada é impossível de ser feito, não concorda? A matemática ainda tem que ser desvendada, porém, já é possível usufruir de soluções que ela apresenta.
Se você vai prestar uma prova que tenha matemática, então, o ideal é começar pelo básico e neste artigo, fizemos questão de mostrar como isso é possível.
É claro que o assunto da matemática não termina por aqui. Ainda há muitos temas e títulos que precisam ser estudados. Porém, vamos deixar isso para um próximo texto. Então, se você gostou deste artigo, continue lendo que temos algumas curiosidades que podem te ajudar a mandar bem em matemática.
E continue acompanhando o blog que nos próximos dias vamos ter um texto continuação desse aqui, onde vamos falar de mais fórmulas matemática e tudo de forma bem simples!
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7 Dicas para Entender Matemática de Forma Simples
Muitas pessoas se veem com dificuldades quando o assunto é matemática. Para alguns concurseiros, por exemplo, o assunto é o mais temido da prova. No entanto, as experiências negativas não podem ser consideradas ponto exclusivo na hora de aprender matemática. Pegar o gosto pela matéria pode não ser uma tarefa fácil, mas com certeza existem algumas formas de conseguir mandar bem nos concursos.
Neste texto, selecionamos algumas dicas para que você consiga aprender cálculos sem erros e chegue a conclusão de que é possível mudar a própria visão, para a forma positiva.
1 – Acreditar é Poder: Se você realmente acredita que a matemática é difícil e impossível de ser resolvida, então, ela será. Certamente, nesses casos, você terá muita dificuldade em aprender novos conceitos. Portanto, jogue esse pré-julgamento fora sobre a matéria e considere estudar de forma leve, como algo positivo.
2 – Linguagem: A matemática funciona como um idioma, por isso, você precisa de dicionários (tanto faz o digital ou o impresso) porque isso vai facilitar a sua compreensão dos novos termos.
3 – Memorização: Na matemática não há como fugir das regras e das fórmulas, portanto, o ideal é usar técnicas de memorização que podem te ajudar na resolução dos problemas. Essas técnicas são das mais variadas e podem fazer uma grande diferença, justamente porque atua na memória seletiva.
4 – Exercite: Crie um caderno de exercícios e faça os testes das provas passadas. Essa é a melhor forma de exercitar o seu potencial matemático. A prática, nesse caso, leva mesmo à perfeição.
5 – Atenção: Em uma questão matemática, qualquer erro ou vírgula podem ser fatais. Com isso, note que toda atenção é pouco e preste atenção na hora de verificar os resultados.
6 – Medo: O seu medo pode te tirar vários pontos na prova porque as pessoas acabam desistindo antes mesmo de iniciar os cálculos. Basta uma questão mais bem desenvolvida e com bons enunciados que as pessoas temem o fracasso.
7 – Entendimento: Isso é importante porque você precisa entender o que está sendo solicitado na questão matemática para, só depois, conseguir chegar à alguma conclusão. Verifique se você sabe o que o enunciado está pedindo e revise a questão.
Por fim, e de uma vez por todas, entenda que os cálculos matemáticos não são um bicho-de-sete-cabeças e que todos os problemas são solucionáveis (ou quase todos, como veremos nos tópicos abaixo).
Então, se você tem um objetivo, tem foco e determinação é possível ir a fundo e encontrar respostas!
Curiosidade: as 7 Questões Matemáticas mais Difíceis do Mundo e que valem US$ 1 milhão
Ser matemático e milionário no Brasil são coisas bem diferentes. Mas, se você se considera realmente um bom entendedor dos números, talvez possa ficar muito rico. O Clay Mathematics Institute lançou, em 2000, um grande desafio: “Quem resolver um dos 7 problemas do milênio, vai ganhar o prêmio de US$ 1 milhão”.
“São equações muito abstratas e bem difíceis de entende-las”, comenta Pedro Luiz Aparecido Malagutti, professor do departamento de matemática da Universidade Federal de São Carlos (Ufscar).
Conheça quais são esses problemas matemáticos, considerados os mais difíceis do mundo!
1 – Hipótese de Poincaré – Resolvida em 2010
Ela foi proposta pelo matemático francês Henri Poincaré e exige um bom esforço da imaginação. Mesmo porque o cérebro humano só consegue perceber 3 dimensões, que são representadas pela profundidade, largura e pelo comprimento. Porém, todos sabem que existem outras dimensões, como provado matematicamente.
Aí, na hipótese de Poincaré, há a questão da laranja na quarta dimensão.
Imagine uma laranja (ou o planeta Terra). Na parte superior pode ser ligado a qualquer ponto da superfície por um único meridiano. Além disso, todos os meridianos se cruzam apenas em um único ponto, que seria o polo Sul.
Com objetos que tem 3 dimensões, como a laranja, não é difícil imaginar isso. Mas a topologia, ramo da matemática criada por Poincaré, trabalho com objetos de n dimensões. Esse modelo foi proposto pelo matemático e servia para qualquer número de n, exceto o 4.
Então, em 2010, o Instituto Clay anunciou que a solução havia sido encontrada pelo russo Grigory Perelman, que se recusou a receber o prêmio de US$ 1 milhão.
2 – Hipótese de Riemann
O alemão Georg Bernhard Riemann acreditou ter descoberto a fórmula matemática para descobrir números primos, ou seja, aqueles que só podem ser divididos por um ou por eles mesmos. A sequência sempre desafiou os matemáticos porque parece não ter lógica. Ou, não parecia.
No entanto, Riemann não encontrou um meio de provar a sua correção senão submetendo cada número ao teste. Isso foi feito com os primeiros 1,5 bilhão de números e até então está tudo correto, mas ainda é pouco para se provar que a hipótese é mesmo verdadeira.
Então, se um dos números não se encaixar, a tese estará totalmente errada.
3 – P = NP
Na prática, o Instituto Clay propôs: você precisa organizar as acomodações de um grupo de 400 estudantes universitários, mas apenas 100 estudantes receberão lugares no dormitório, pois não há espaço para todos. Então, o reitor diz que uma lista de pares de estudantes que não podem ficar juntos.
O regulamento afirma: “este é um exemplo que os cientistas denominam uma NP-problema, uma vez que é fácil verificar se uma dada escolha de 100 estudantes proposta é satisfatória, porém a tarefa de gerar uma lista desse tipo a partir do zero parece não ser tão difícil quanto completamente impraticável”.
Assim, conclui-se que é possível checar uma lista, uma por uma, mas não se chegará a um cálculo que garanta que o resulto final contemple os dois critérios.
Conforme Pedro Luiz Aparecido Malagutti, professor de matemática da Universidade Federal de São Carlos, quem resolver esse problema ganhará muito mais do que US$ 1 milhão, já que provavelmente conseguirá quebrar todos os sistemas de segurança dos agentes financeiros mundiais, incluindo os maiores bancos internacionais, já que esses programas são baseados em problemas NP=P.
4 – Equação de Navier-Stokes
Claude Navier e George Stokes, ainda no século 19, tentaram, mas as equações deixadas por eles só confundem ainda mais os pesquisadores. O desafio que vale US$ 1 milhão, conforme o Instituto Clay, é fazer progressos substanciais em direção à uma teoria matemática que irá desvendar os segredos escondidos nas equações de Navier-Stokes, que tentam explicar as ondas de um lago e as correntes de ar ao redor de um avião.
5 – Conjectura de Hodge
Para compreender as formas geométricas mais complicadas, uma boa alternativa é aproximá-las às formas mais simples. Essa ideia foi tão útil que foi considerada a mais usada em larga escala e chegou ao ponto de se perder a noção de construção geométrica.
Baseado nessa teoria, o americano William Vallance Douglas Hodge disse, em 1950, que as equações capazes de descrever formatos cíclicos em várias dimensões são combinações de formas geométricas mais simples, similares a curvas.
Prove que ele está certo (ou não) e fatura US$ 1 milhão.
6 – Teoria de Yang-Mills
A matemática e a física sempre andam lado a lado. Isso vale, inclusive, para explicar os fenômenos descobertos. Porém, o casamento não deu totalmente certo já que parte da física quântica, descrita por Yang e Mills, não se sustenta por nenhuma teoria matemática conhecida.
Eles introduziram um quadro novo notável para descrever as partículas elementares usando estruturas que também ocorrem em geometria. Tal teoria foi testada em vários laboratórios experimentais, mas a sua fundação matemática ainda é incerta.
Quem descobrir uma teoria matemática que sustente a teoria física será o mais novo milionário do mundo.
7 – Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
Parte do teoria de Fermat, que diz que a soma de um número inteiro qualquer elevado à enésima potência com outro número qualquer elevado à mesma potência dá como resultado um terceiro número elevado à mesma potência, ou seja, xn+yn=zn.
Para qualquer outro número de n, a equação não é solucionável, exceto para casos especiais. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer tenta justamente estabelecer essas exceções.
Com informações do Terra